Instrukcja dla uczestników

Etap pierwszy IV edycja konkursu KOALA ma postać ligi zadaniowej, trwającej trzy tygodnie (trzy serie zadań). Treści 15 zadań będą udostępnione 3 listopada (czwartek).

Sprawą honoru jest samodzielność w rozwiązywaniu zadań i przesyłanie odpowiedzi tylko do tych zadań, dla których drużyna sformułowała przekonujące uzasadnienie, które należy przekazać szkolnemu opiekunowi konkursu.

Są trzy poprawne (według producenta butów)
sposoby sznurowania dla tenisówek z trzema rzędami dziurek:

Ile jest poprawnych sposobów sznurowania
dla butów z czterema rzędami dziurek?

Co to znaczy przekonujące uzasadnienie?

Dla przykładu posłużmy się zadaniem o sznurowadłach z plakatu informującego o konkursie.

Najpierw trzeba określić, jak rozumieć poprawne sznurowanie.
Z analizy rysunku wnioskujemy, że:
1. Sznurowadło należy przewlekać naprzemiennie, tzn. sznurowadło przechodzi raz przez prawą, raz przez lewą dziurkę.
Możemy przyjąć, że sznurowanie zaczynamy zawsze od pierwszej (najbliższej łydki) dziurki buta po lewej.
2. Kolejna dziurka, przez którą przewlekasz sznurowadło w kierunku czubka buta, nie może być dalej od czubka niż poprzednia. Kolejna dziurka, przez którą przewlekasz sznurowadło w kierunku odwrotnym, nie może być bliżej czubka niż poprzednia.
3. Sznurowadło musi być przewleczone przez każdą dziurkę.

Następnie należy przeanalizować przypadek czterech par dziurek. Warto narysować kilka poprawnych sznurowań i szukać jakiejś reguły (prawidłowości). Jej zastosowanie pozwoliłoby tworzyć kolejne rysunki w sposób uporządkowany (tak, byśmy mieli pewność, że rozpatrzyliśmy wszystkie przypadki). Wcale nie jest konieczne tworzenie wszystkich rysunków (będzie ich dziewięć).

Oto przykład rozumowania, które zawiera przekonujące uzasadnienie:

W czasie przewlekania sznurowadła w kierunku czubka buta nie ma możliwości wyboru lewej lub prawej dziurki tylko w przypadku pierwszej pary dziurek (trzeba przewlekać od lewej) i ostatniej pary dziurek (trzeba przewlekać przez obie dziurki). Dla innych rzędów dziurek mamy trzy możliwości do wyboru: 1. omijamy rząd dziurek, 2. przewlekamy przez jedną dziurkę, 3. przewlekamy przez dwie dziurki. W „drodze powrotnej” nie mamy żadnego wyboru – jest tylko jedna możliwość przewlekania sznurowadła. Stąd wniosek: W przypadku butów z czterema rzędami dziurek mamy 3 × 3 = 9 możliwości sznurowania.

Uwaga 1: Narysowanie dziewięciu różnych rysunków ilustrujących poprawne sznurowania dla przypadku czterech par dziurek nie jest pełnym rozwiązaniem zadania.Jest to tylko i wyłącznie uzasadnienie, że rozwiązań jest co najmniej dziewięć.

Uwaga 2: Innym przykładem przekonującego uzasadnienia dla zadania o sznurowadłach jest narysowanie „drzewa”, które będzie ilustrować proces tzw. wyczerpującego przeszukiwania. W niektórych zadaniach taki sposób rozwiązywania jest jednak nieefektywny.