Zadanie treningowe

Literaki

W emitowanym co tydzień teleturnieju pt. Literaki występują małżeństwa. W każdym odcinku programu spotykają się dwa małżeństwa. Aby było ciekawiej, żony tworzą jedną drużynę i grają przeciwko mężom.
W eliminacjach do teleturnieju wyłoniono 20 małżeństw. To nie oznacza, że wszyscy w programie wystąpią. Wiadomo jednak, że żadne małżeństwo nie może wystąpić dwa razy. Po eliminacjach każda osoba ma swój literakowy ranking: im wyższy (opisany większą liczbą), tym jest lepszym literakowym graczem. Ranking jest znany tylko organizatorom.
By wyrównać szanse zawodników, w każdym odcinku teleturnieju muszą wystąpić takie dwa małżeństwa,
że suma punktów rankingowych obu żon jest równa sumie punktów rankingowych mężów.
Oto tabela z punktami rankingowymi kandydatów do teleturnieju (każdemu małżeństwu odpowiada jedna kolumna):

Organizatorzy teleturnieju ułożyli plan spotkań tak, by teleturniej był emitowany jak najdłużej.
Ile tygodni potrwa emisja?


Zebry
Zebry występują w wielu podgatunkach. Są na przykład takie, które mają paskowane tylko nogi. U jednego z nich zaobserwowano, że paski tworzą regularną strukturę (rodzaj naturalnego kodu paskowego podgatunku), odstraszającą owady, którą w uproszczeniu można scharakteryzować tak:
– pierwszy pasek nad kopytem jest zawsze czarny,
– ostatni pasek też jest zawsze czarny,
– pasek (również pierwszy i ostatni) może mieć pojedynczą lub podwójną szerokość (4 cm lub 8 cm).
Ile jest niepowtarzalnych układów pasków, jeśli przyjąć, że paski pokrywają 52 cm nogi zebry?


Szyba

W autobusie, którym jechało siedmiu pasażerów, wyleciała szyba, wybita przez jednego z nich.
Oto, co o tym incydencie mówią pasażerowie:
Abacki: – Widziałem, że to Fabacki wybił szybę.
Babacki: – Ależ skąd! To zrobił Dabacki albo Gabacki.
Cabacki: – Przyznaję się – to ja.
Dabacki: – To nie ja.
Ebacki: – Cabacki kłamie, to ja wybiłem szybę.
Fabacki: – Szybę wybił jeden z pasażerów z walizką, a więc albo Abacki, albo Babacki.
Gabacki: – Co za ludzie! Tylko dwaj mówią prawdę. To znaczy ja, oczywiście, i jeszcze tylko jeden z nich.

Udało się ustalić, że Gabacki mówi prawdę. Który z pasażerów wybił szybę?


Głodna żaba

Głodna żaba siedzi nad strumieniem i zamierza przeskoczyć na drugi brzeg po liściach nenufarów, skacząc zawsze w kierunku drugiego brzegu i lądując po każdym skoku albo na nenufarze, albo na drugim brzegu. Po drodze żaba zjada muchy.
Na rysunku poniżej widzimy liście, z przyporządkowanymi im liczbami.

W każdym skoku żaba może albo przeskoczyć na sąsiedni nenufar, albo przeskoczyć nad jednym nenufarem. Jeżeli przeskakuje na sąsiedni nenufar, liczba na docelowym nenufarze oznacza liczbę zjedzonych w czasie tego skoku much. Jeżeli przeskakuje nad nenufarem, zjada podwojoną liczbę much, napisaną na nenufarze docelowym.
Jaka jest największa liczba much, jaką może zjeść żaba? Ile skoków wtedy wykona?

Przykładowo, gdyby nenufary były trzy i miały przyporządkowane liczby kolejno: 4, 2 i 3, to żaba skacząc zawsze na sąsiedni nenufar, zjadałaby 9 much i robiłaby cztery skoki. Z kolei, skacząc na pierwszy, a potem na trzeci nenufar (przeskakując nad drugim nenufarem), żaba zjadałaby 10 much, a skoki wykonywałaby trzy (wliczamy skok na drugi brzeg).


Drogi

Podróżujesz z miasta A do miasta B, poruszając się zawsze w kierunku miasta B, mijając po drodze inne miasta. Sieć dróg między miastami pokazuje poniższy rysunek.

Na ile sposobów możesz dojechać z A do B?

Na przykład po sieci dróg:

moglibyśmy podróżować na 5 sposobów.


Optymalny zakup

Janek dostał od rodziców 200 zł na zakup podręczników, przy czym wszystko, co zaoszczędzi, miało być dla niego. Postanowił więc zrobić zakupy przez Internet.
Okazało się, że w każdym z 10 sklepów internetowych cena jest nieco inna. Każdy ze sklepów ma też własny koszt dostawy doliczany niezależnie od tego, ile w nim zakupi książek.

Janek próbował najpierw kupić wszystkie podręczniki w jednym sklepie, ale wszędzie było na tyle drogo, że niewiele mógł zaoszczędzić.

Próbował więc kupować każdy z podręczników w najtańszym dla niego sklepie, ale to powodowało, że każdy musiał kupować w innym i koszty dostawy doliczały się z każdego sklepu, a więc w rezultacie musiałby zapłacić 10∙(13+4)=170.
Wtedy postanowił spróbować podzielić zakupy na kilka paczek – każda z innego sklepu.
Pomóż Jankowi, zlecając zakup podręczników w takich sklepach, by suma była jak najmniejsza i by jak najwięcej pieniędzy zaoszczędził dla siebie. Jako odpowiedź podaj zaoszczędzoną kwotę.


Wyścigi po drabinie
Jedną z dyscyplin w czasie pewnego konkursu strażackiego były wyścigi wspinania się po drabinie. Konkurs okazał się nie lada wyzwaniem. Zgodnie z regulaminem zwycięzcą wyścigu wspinania się po drabinie miał zostać najszybszy spośród zawodników, którzy postawili stopę na jak najmniejszej liczbie szczebli. Czas liczony był do momentu postawienia stopy na najwyższym szczeblu drabiny.

Drabina używana w czasie zawodów była pozbawiona niektórych szczebli (jak na rysunku). Ze względów bezpieczeństwa podczas wspinania się po drabinie nie wolno było omijać więcej niż jednego szczebla drabiny (lub miejsca, w którym szczebel powinien być).

Rozstrzygnij, jaka jest najmniejsza liczba szczebli, na których trzeba postawić stopę w czasie wspinania się po drabinie przedstawionej na rysunku.


Tęczaki

Pewnego dnia znany polski podróżnik Kazik Nowak przemierzał, jak zwykle na swym rowerze, Czarny Ląd. Nagle najechał na leżący w poprzek drogi konar, spadł z roweru i stracił przytomność. Gdy się ocknął, zobaczył dziwne stworzonko. Był to tęczak, czyli robak, który każdego dnia ma inny kolor, a zmienia go cyklicznie: czerwony, niebieski, zielony, biały, czerwony... (w skrócie: C N Z B C ...). Za tym tęczakiem w równej linii było jeszcze dziewięć tęczaków o kolorach odpowiednio: Z C N Z N B N N B.
Jak wyglądałby ciąg kolorów tych dziewięciu robaków, gdyby Kazik Nowak spotkał za 366 dni te same robaki, stojące w tym samym porządku?


Gra liczbowa

W pewnej grze liczbowej o sześciocyfrowych numerach na kuponach „szczęśliwe” są te numery,
których suma cyfr stojących na miejscach parzystych jest równa sumie cyfr stojących na miejscach nieparzystych.
Na przykład kupon 631752 jest uważany za „szczęśliwy”, gdyż 6 + 1 + 5 = 3 + 7 + 2 = 12.
Ile jest „szczęśliwych” kuponów o numerach od 000 000 do 999 999?

Gra w sumy

Kasia zapisała na 15 kartkach 15 różnych liczb. Następnie wybrała siedem kartek, ułożyła je jedną obok drugiej i uporządkowała według wartości liczbowych – od najmniejszej do największej.
W końcu Kasia odwróciła każdą z kartek, tworząc szereg A: □ □ □ □ □ □ □.
Podobnie postąpiła z pozostałymi ośmioma kartkami, tworząc szereg B: □ □ □ □ □ □ □ □.
W tym momencie do gry przystąpił Wojtek. Miał za zadanie wybrać jakąkolwiek liczbę i sprawdzić, czy tę liczbę da się zapisać jako sumę liczby z szeregu A i liczby z szeregu B.
Wojtek wybrał liczbę i zdradził ją Kasi. Teraz Wojtek może zadawać Kasi pytania według następujących zasad: za każdym razem wskazuje jedną kartkę z szeregu A i jedną z szeregu B i pyta „Jaka jest suma tych liczb?”. Kasia odpowiada, zgodnie z prawdą: albo ,,Jest równa twojej liczbie”, albo ,,Jest większa od twojej liczby”, albo ,,Jest mniejsza od twojej liczby’’.
Podaj najmniejszą liczbę, jak na pewno zawsze pozwoli Wojtkowi rozwiązać zadanie (niezależnie od liczb zapisanych przez Kasię i liczby wybranej przez Wojtka)


Trójkąty

Trójkąt Sierpińskiego to fraktal generowany etapami w następujący sposób:

Ile białych trójkątów będzie na szóstym etapie tworzenia fraktala?

źródło: AIC



Encyklopedie

Na półce w pokoju Piotra stoi dwanaście tomów jego ulubionej encyklopedii informatycznej.Ich kolejność jest przypadkowa: XI, I, X, IV, III, II, VIII, VII, XII, VI, IX, V.
Jaka jest najmniejsza liczba przestawień potrzebnych Piotrowi do uporządkowania tomów?


Wehikuł czasu

Twój wehikuł czasu posiada tylko dwie instrukcje „skoków” w przyszłość:
A: o rok,
B: o sumę lat pokonanych wcześniej.
Na przykład, aby przenieść się w czasie o sześć lat, należy posłużyć się ciągiem instrukcji: AAAB lub ABAB.

Ilu co najmniej „skoków” potrzebujesz, aby przenieść się w czasie o 762 lata?

źródło: AIC


Sortowanie po trzy

Na stole leżą obok siebie karty. Każda z nich oznaczona jest literą. Twoje zadanie polega na posortowaniu kart w kolejności alfabetycznej (A B C . . . ). Pojedynczy ruch polega na odwróceniu kolejności trzech kolejnych kart.

Przykład: Układ B D C A w jednym ruchu możesz zastąpić układem C D B A lub B A C D.

Który z poniższych zestawów kart można posortować w opisany sposób?
(1) F B C D E A
(2) C F A B E G D
(3) C F A B G D E
(4) C F G A E D H B
(5) H B C F B D E G A

źródło: AIC


Prostokąty

Kwadratowa siatka została podzielona na nie nakładające się na siebie nawzajem prostokąty. Informacja o polu prostokąta znajduje się w jednym z tworzących prosotkąt jednostkowych kwadatów. Twoje zadanie polega na odtworzeniu prostokątów na podstawie informacji o ich polach.
Oto przykład:



Jakie pole ma prostokąt zawierający jednostkowy kwadrat z x, przedstawiony na siatce na poniższym rysunku?


źródło: AIC



Hasło

Po wyjeździe Gosi sześcioro jej kolegów i koleżanek utworzyło dla niej hasło dostępu do filmu z wakacji, który zamieścili w Internecie. Hasło składa się z pierwszych liter ich imion, zapisanych w pewnej kolejności.

Wymyślili też bezpieczny sposób przesłania hasła Gosi za pomocą wiadomości SMS:
– Najpierw Adam przesyła Gosi liczbę, określającą pozycję A w haśle, i usuwa tę literę z hasła;
– Następnie Basia przesyła Gosi liczbę (prawdopodobnie inną niż Adam), określającą pozycję B w ciągu, z którego usunięte zostało A;
– Cyprian, Darek, Ela i Franek postępują podobnie (po kolei).

Przykład: Gdyby hasło miało postać CDABFE, to Gosia otrzymałaby 331121.
W rzeczywistości Gosia otrzymała 232121. Jakie było hasło dostępu?


Punkty widokowe

Spacerujesz drogą w pobliżu wysokiego brzegu morza (klifu), przy którym usytuowanych jest siedem punktów widokowych.

Liczby zaznaczone na rysunku obok punktów widokowych to informacja o łącznej liczbie minut, które potrzebujesz, by dotrzeć do klifu i wrócić na drogę (scieżkami zaznaczonymi liniami wykropkowanymi). Liczby zaznaczone przy drodze informują o tym, ile czasu trwałby spacer wzdłuż fragmentów drogi (zaznaczonego linią przerywaną), jeśli ominiesz dany punkt widokowy.

Ile co najmniej minut będzie trwał spacer, jeśli chcesz zrobić zdjęcia w czterech punktach widokowych? Załóż, że spacer wzdłuż drogi trwałby 100 minut.

źródło (tekst i rysunek): AIC



Gra w zaokrąglanie

Na każdym polu szachownicy 4x4 znajduje się liczba. Zaczynasz ruch od lewego górnego pola. Twoje zadanie polega na tym, by dotrzeć do prawego dolnego pola, odpowiednio przemieszczając się krok po kroku o jedno pole w prawo lub jedno pole w dół.
Na początku Twój wynik jest równy 0. Po wykonaniu każdego kolejnego ruchu (kroku) liczba punktów wyznaczana jest w następujący sposób: do połowy dotychczasowej liczby punktów (zaokrąglonej w razie potrzeby w dół) dodajesz wartość, która zapisana jest na wybranym polu szachownicy. Wygrywasz wtedy, jeśli Twój wynik końcowy jest najmniejszym z możliwych.

W przypadku pokazanym na rysunku (poniżej) oczekiwanym wynikiem gry jest 12.

Przebieg może być taki: 1 (w dół), 4 (w prawo), 4 (w dół), 7 (w prawo), 7 (w prawo), 12 (w dół).
Jaki wyniki należy uzyskać, by wygrać w poniższej grze?





Palindromy

Dane są następujące reguły działań, które można wykonać w celu zamiany ciągu cyfr na inny (lub zupełnej ich eliminacji):
1. jeśli trzy kolejne cyfry (w dowolnym miejscu ciągu) tworzą palindrom, to wszystkie te cyfry można usunąć, np. ciąg 163235 może być zredukowany do 165.
2. każdą cyfrę poza 9 można zamienić na kolejną, np. 166725 można zmienić na 176725.

Ile razy trzeba zastosować regułę 2., jeśli chcemy usunąć wszystkie cyfry z ciągu 294563011?



Gwiazdki

Dana jest liczba naturalna n. Zapisujesz * obok siebie, stosując się do następujących reguł:
– jeśli n jest równe 0, kończysz zapis.
– jeśli n jest liczbą nieparzystą, zapisujesz * i zmniejszasz wartość n o 1.
– jeśli n jest liczbą parzystą, zmniejszasz wartość n dwukrotnie (dzielisz n przez 2).
Na przykład, jeśli zaczniesz od n = 3, wtedy będziesz postępować w następujący sposób:
Liczba 3 jest nieparzysta, więc zapisujesz pojedynczą * i odejmujesz 1, otrzymując n = 2.
Teraz n jest równe 2 (liczba parzysta), więc dzielisz n przez 2, otrzymując n = 1.
Liczba 1 jest nieparzysta, wiec piszesz znowu * oraz odejmujesz 1.
Teraz n = 0, więc kończysz – zapisane są obok siebie dwie gwiazdki: **.
Jeśli zaczniesz od n = 99, to ile w sumie zapiszesz * obok siebie?



Teleturniej

Uczestnicy teleturnieju otrzymali zadanie, które polega na tym, aby w jak najmniejszej liczbie ruchów spowodować, że wszystkie cyfry pewnej liczby będą równe. Każdy z uczestników teleturnieju ma do dyspozycji tablet. Naciskając odpowiednio nad lub pod wybraną cyfrą może zwiększyć lub zmniejszyć ją o 1 (o ile jest to możliwe).

Przykład: Jeśli uczestnicy otrzymują liczbę 114, to rywalizację wygra ten, kto otrzyma liczbę 111, naciskając trzykrotnie poniżej cyfry jedności.

Określ najmniejszą możliwą liczbę ruchów potrzebną do ujednolicenia wszystkich cyfr liczby 99478.

Źródło: AIC



Ścieżka

Na rysunku przedstawiony jest rzut dwunastościanu foremnego na płaszczyznę.
Jak przy danej początkowej sekwencji GFBAU i końcowej sekwencji JHG uzupełnić ścieżkę, która przez każdy wierzchołek przechodzi tylko raz?
Jako odpowiedź podaj nazwy kolejno odwiedzanych wierzchołków między U i J.





Koszykarz

Koszykarz zdobył w meczu 13 punktów. Na ile sposobów mógł to uczynić?
Uwaga: Historie rzutów 2, 2, 3, 1, 2, 3 oraz 3, 2, 2, 1, 2, 3 traktujemy jak dwa sposoby.





Dostawca pizzy

Pracownik pizzerii musi dostarczyć 11 pizz do 11 domów (wszystkie znajdują się obok siebie po jednej stronie ulicy) w odpowiedniej kolejności zamówień.



Wiedział, od którego domu ma zacząć. Dalej miał się posłużyć zwięzłą instrukcją:
1 D3
2 W1
3 D6
4 W3
5 D1
6 W5
7 D1
8 D5
9 D1
10 W3
gdzie np. D3 znaczy „trzy domy dalej”, a W1 – „jeden dom wcześniej”.
Niestety instrukcja zawierała błąd.
W którym miejscu? Określ wiersz, w którym jest błąd.

Źródło: AIC



Odśnieżanie miasta

Rysunek przedstawia sieć dróg powiatowych i miasta. Przy każdej z dróg jest podany szacowany koszt jej odśnieżania (w tysiącach złotych). Starosta, w celu oszczędności, polecił odśnieżać tylko niektóre z nich. Określił przy tym dwa warunki:
– z każdej miejscowości do każdej innej będzie można dojechać (niekoniecznie najkrótszą drogą),
– koszt odśnieżania będzie jak najmniejszy.

Które drogi powinny być odśnieżane? Jako odpowiedź podaj łączny koszt odśnieżania.



Loch

Znajdujesz się w labiryncie w miejscu oznaczonym jako X. Znajdź miejsce najbardziej oddalone od X, tzn. takie, które wymaga wykonania największej liczby ruchów, aby do niego dotrzeć.
Jako odpowiedź podaj tę liczbę ruchów.

Uwaga: Zakładamy, że w jednym ruchu możesz przesunąć się o dowolną, możliwą w danym miejscu, liczbę pól w kierunku poziomym lub pionowym.

Źródło: AIC



Kamienie

Dwóch graczy gra w następująca grę. Zaczynają od stosu składającego się z 60 kamieni. Wykonują ruchy na przemian. W każdym kroku każdy z graczy musi usunąć co najmniej jeden
i co najwyżej sześć kamieni.
Gracz, który usuwa ostatni kamień (ostatnie kamienie) wygrywa.
Ile kamieni powinien na początku usunąć pierwszy gracz, żeby zagwarantowało mu to wygraną?

Uwaga: Zakładamy, że pierwszy gracz w kolejnych ruchach będzie stosował optymalną strategię.



Miasta

W środku Okrągłej Krainy znajdują się Jezioro Okrągłe. Wokół jeziora zbudowano autostradę, która łączy pięć miast. Najmniejsze odległości między miastami są podane w tabeli:

Zauważ, że istnieją dwie możliwości dotarcia z jednego miasta do drugiego (w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara lub w kierunku przeciwnym). W tabeli podana jest zawsze mniejsza z odległości.
Podróżujesz autostradą wokół jeziora w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
W jakiej kolejności, licząc od P, mijasz miasta?

Źródło: AIC



Sortowanie przez zamianę

Masz zestaw liter A, B i C ułożonych w ciąg. Chcesz je uporządkować tak, aby litery A były po lewej stronie, litery B w środku i C po prawej stronie. Proces sortowania polega na zamianie (miejscami) par liter. Możesz zamienić dwie litery tylko wtedy, gdy pomiędzy nimi masz dokładnie tylko jedną literę. Na przykład, jeśli mamy BACA, możesz zamienić B z C ale nie możesz zamienić B z żadną literą A. Na przykład, ciąg liter BCAB potrzebuje co najmniej dwóch zamian, aby posortować je w odpowiedniej kolejności: BCAB –> ACBB –> ABBC.
Jaka jest najmniejsza liczba zamian, dla ciągu CBCBBABAACAC?



Pająki

Każdy wie, że trudno odróżnić płeć dorosłego pająka… Okazuje się, że można próbować zastosować kryterium rozmiaru, tzn. przyjąć, że wszystkie pająki większe od x są samicami,
a mniejsze od x – samcami. Oczywiście w niektórych przypadkach założenie to może okazać się błędne. Twoim zadaniem jest wybór takiej liczby x, która skutkuje najmniejszą liczbą pomyłek.

Poniżej znajdują się szczegółowe informacje o rozmiarach i płci pająków należących do pewnej kolonii. Twoje zadanie polega na wskazaniu takiej liczby nieparzystej, która najlepiej spełnia warunki zadania.

samce: 14, 14, 14, 18, 18, 22, 26, 26
samice: 16, 20, 20, 24, 24, 24, 28, 28, 28, 28

Źródło: AIC



Ładny widok

W nowym projekcie urbanistycznego miasta zapisano, że każdy szereg nowych budynków musi mieć następującą własność estetyczną: sąsiednie budynki mają różnić się co do wysokości najwięcej jak to jest możliwe.

Na przykład dla szeregu budynków, których planowane liczby pięter mają wynosić odpowiednio: 8, 4, 3, 2 i 1 układ przestrzenny może wyglądać tak:

Pierwsze rozwiązanie (po lewej stronie) daje łączną sumę różnic wysokości 4 + 3 +1 + 1 = 9 pięter, a drugie (po prawej stroenie): 4 + 7 + 2 + 1 =14 pięter.
Okazuje się jednak, że można znaleźć bardziej optymalny układ.

Jaka jest największa możliwa suma różnic wysokości dla szeregu budynków z poniższego rysunku?



Źródło (tekst i rysunek): AIC



Autorką ilustracji do wielu zadań jest Hania Kuik, uczennica V LO w Poznaniu.